Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1912-1913-iki tanévre

Sárközy Pál: A vector-számítás alkalmazása az infinitesimalis geometriára

Az (1) kapcsolat felhasználásával kiszámíthatjuk még a normálisnak az s szerint vett differentiál-hányadosát is. Differentiáljuk a v — [e

3 x] egyenletet az ívelem szerint és használjuk fel az (l)-et, kapjuk dv f_ vl x ... Ts

=hj\ = -7 <

4

) a v változása tehát párhuzamos az érintővel. Az (1) és (4) további differentiálásával kapjuk d

2x _ x 1 dp _ ds- p

2 p

2ds ' d

2v __ v 1 dp

+ Az (1) és (4) a térbeli görbék Frenet-féle formuláinak felel meg. Ha a görbe egyenletét polárcoordinátákban ismerjük r = r (fr), a 13. pont (6) és (7) képleteiből kapjuk s' = Ifís+TT cp/ = r' cos fr — r sin fr, cp

2' = i

J sin fr + r cos fr, cp/' = r" cos fr — 2t' sin fr — r cos fr, cp/' == r" sin fr + 2 r' cos fr — v sin fr. Helyettesítve ezen értékeket, a (2) be, kapjuk (r

2 + r'

2)

8/2 P r

2 + 2r'

2 —rr"' Pl. 1. Az ellipsisnél r — a cos u % -f- b sin u Íj, s' = Y a

2 sin

2 u ö

2 cos

2 u. A görbületi sugárra kapjuk, mivel cp/ cp

2" — cp/' cp

2' = ab, s'

3 9 = ab Az evoluta egyenlete M =0 + ^ (a

2 - s'

2; ë, + ™ - s'

2; a

2 — 6

2 o _ , ft

2 — «

2 . o = COS

d W £, H 7 Sin

ö U So. a b ^ A 13. pont szerint az origónak az érintőtől való távolsága ab t = v r — —• —