Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1912-1913-iki tanévre

Sárközy Pál: A vector-számítás alkalmazása az infinitesimalis geometriára

A componenseire bontott vectorok esetében ez alapon kapjuk [âb] = [a

l íj + a

2 82 -f- a

3 I

3, ft

x I, -f ft

2 E, + ft

3 l

3 ] = = (a

2 b

3 — a

3 b

2) íj + (a

3 ft, — a

x b

3) % -f (a, b

2 — a

2 6j) l

3 = £i «i ft, b £3 2 ^3 6. Nevezetesebb szorzatalakok. Az előző két pont alapján bebizonyítunk néhány fontos szorzatalakot, melyre a későbbiekben többször fogunk hivatkozni. 1. Vizsgáljuk először az a [b c] szorzatot. Az egy pontból kiinduló ä, ft és c vector egy parallelepipedont határoz meg, melynek élei az a, ft és c vectorok. Ezen parallelepipedon egyik oldalának területét [ft c] absolut értéke adja, a parallelepipedon ezen oldalhoz tartozó magasságát pedig az ä-nak [ftë]-re való vetülete, mert [ft c] merőleges a felvett oldallapra. Az ä [b c] szorzat tehát az adott parallelepipedon köbtartalmát szolgáltatja. A három vectort kifejezve derékszögű componensekkel ä [ b c ] = ä { (b

2 c

3 — b

3 c

2) l, -f (b

3 c

l — ft, c

3) I

2 + (b

1 c

2 — b

2 c

:) I

3 } = = «1 (h c

3 — b

3 c

2) + a

2 (63 c

x — b

x c

3) + a

3 (b

x c

2 — b

2 c

x) = ííj $2 h b

2 b

3 c, Co c, = b [c ä] = a [ä ft] (I.) Ezen fontos formulát a következőkben térfogat-szabálynak fogjuk nevezni. Levezetésünkből következik az a [a ft] = a [6 ä] = b [ä a] = 0 egyenlőség. Ennek felhasználásával, ha a = B b -f- C c, vagyis párhuzamos a ft és c meghatározta síkkal, akkor a [bc] = B b [bc] + C c [be] = 0, tehát az á [ft c) szorzat eltűnik, ha a három adott vector ugyanazon síkkal párhuzamos. 2. Az [ ä [ft c

] I vector esetében legyen [ft c

] = d, vagy részletesen d

x = b

2 c

3 — b

3 c

2, d

2 = b

3 c

x — b

x c

3, d

3 = b

x c

2 — b

2 c

x. Az ^a [be] J = [a d] vector íc-componense tehát