A Hét 1970/2 (15. évfolyam, 27-52. szám)
1970-07-05 / 27. szám
matematika és művészet Modern világunk matenshtika nélkül elképzelhetetlen. A matematikát már a XVI. században a természettudományok anyanyelvének nevezték. A természet törvényei a matematika nyelvén vannak megírva. Napjainkban már nélkülözhetetlen a matematika a gazdaság- és társadalomtudományokban is. Vajon a műalkotások megformálásában is szerepet játszik-e? Dr. Szabó Árpád matematikatörténésznek, a Magyar Tudományos Akadémia Matematikai Kutató Intézete főmunkatársának A görög matematika kezdetei címmel most jelent meg e témakörben egy tanulmánya az Akadémiai Kiadó és egy bécsimüncheni cég közös kiadásában; a könyvet az angolok is megrendelték és japán nyelvre is készülnek lefordítani. Ö így felelt a kérdésünkre: — Egészen bizonyos, hogy minden művészet mélyén ott rejlik a matematika — mondotta. — Más kérdés, hogy ez az alkotó művészetben is tudatos-e. Vegyük a művészetek közül azt, amelynek a matematikához való kapcsolata ősidők óta közismert. Ez a zene. A zene és a matematika mély rokonságát mutatja, hogy a nagy matematikusok mindig vonzódnak a zenéhez. Számtalan példát említhetnénk erre, például Einsteint a közelmúltból. Igaz, megfordítva nem feltétlenül áll mindig így a dolog. A nagy zenészek nem okvetlenül barátai a matematikának is. Bár néhány érdekes kivételre itt is hivatkozhatunk. Bartók például tudatosan is érdeklődött a matematika iránt. Ez a kétoldalú kapcsolat azzal is magyarázható, hogy a matematikus, aki a struktúrák, a szrkezetek iránt érdeklődik, rögtön észreveszi a zenében is a nagyszerű matematikai szerkezetet. A teremtő zenész viszont nem feltétlenül törekszik tudatosan ilyen szerkezet építésére. A nagy muzsikusnak lehet az a szubjektív érzése, íiogy az 6 műve független a matematikától — pedig a reális valóság talán más. Jómagam abból a megfigyelésből indultam ki, hogy a hagyomány szerint a görög matematika legendás megteremtője, Püthagorasz, aki az időszámításunk előtti VI. században élt, nevelési programjában a matematikával és a csillagászattal azonos fokon a zenét is megkövetelte. Zene, matematika és csillagászat az ő gondolkodásában úgy összeolvadt, hogy a mai napig is beszélünk a szférák zenéjéről. Kérdésem az volt, vajon Püthagorasz és tanítványai a matematikából indultak-e ki, és ennek a törvényét fedezték fel a zenében, vagy talán fordítva. Az eredmény az lett, hogy a régi görögök sok matematikai felfedezésüket zenével kapcsolatos tanulmányaiknak köszönhették. Őket a zenében főként az összhang, a „szimfónia“ kérdése érdekelte. Könnyű észrevenni azt, hogy egy hosszabb húr mélyebb, egy rövidebb húr általában magasabb hangot ad. Ennek az észrevételnek az alapján Püthagorasz vagy tanítványai legelőször azt a kérdést tisztázták, hogy a legszebb összhang, amelyben a két hang úgyszólván megkülönböztethetetlen egymástól, vagyis az oktáv, milyen számoktól függ. Aránylag könnyű volt mgeéllapítaniuk, hogy valamely kifeszített húr hangjához megkapjuk az oktávot, ha ugyanezt a húrt (nem változtatva kifeszítettségén) megfelezzük és a második hangot csak a fél húrral adatjuk. Ezért lett az oktávnak az arányszáma kettő az egyhez (2:1). Ugyanezen az egyetlen kifeszített húron persze nagyon könnyű megtalálni a kvintnek és a kvartnak az arányszámait is, csak ebben az esetben a húrt előbb három, majd négy egyenlő részre kell osztani. Ha a három a kettőhöz (3:2) arányt választjuk, a kvintet, ha pedig a négy a háromhoz (4:3J arányt választjuk, a kvartot kapjuk. Érdekes, hogy ezek a latin nevek (görög kifejezések fordításai) nem az elméleti zenekutatásból, hanem a mindennapi, gyakorlati zenéből származnak. Az oktáv például a nyolcadik hangot jelenti, utalásul arra, hogy az első és a nyolcadik húrnak az összhangjáról van itt szó. Hasonlóképppen a kvint az első és az ötödik húrnak, a kvart pedig az első és a negyedik húrnak az összhangja. Ezek a számok azonban (nyolcadik-ötödik-negyedik) nem a zeneelmélet elnevezései, hanem a mindennapi muzsikáéi. Az arányszámok, amelyekről beszélek, függetlenek a húr számozásától. Mert például igaz ugyan, hogy a kvintnek az arányszáma három a kettőhöz (3:2), s ha valaki hármat meg kettőt összead, ötöt kap, de a három a kettőhöz aránynak semmi köze sincs a kvínt (ötödik) névhez. Az arány, három a kettőhöz, már a zeneelméleti kutatás szakkifejezése, nem úgy, mint a kvint név, amely magából a zenei gyakorlatból származik. Természetesen ugyanez érvényes a kvartra is. Minden muzsikus tudja, hogy a kvart és a kvint, vagy akár megfordítva: a kvint és a kvart egymás után megszólaltatva, egy oktávot ad. Püthagorasznak és tanítványainak ezt a tapasztalati tudást elméletileg is igazolniuk kellett. Ügyesen végre is hajtották ezt már időszámításunk előtt a VI. században. A kifeszített húr alá helyezve egy mérővesszőt — kánonnak nevezték ezt a vesszőt —, kimutatták, hogy csakugyan a kvart és a kvint arányszámai együtt adják az oktáv arányszámait. A tizenkét részre osztott mérővesszőn, illetőleg a fölötte kifeszített húron 12, illetőleg 9 egység megszólaltatása adja a kvartot (12:9). Ha ezután a kilencet veszem kiindulásnak, akkor a kilenc egység megszólaltatása után hat egység ad egy kvintet (9:6). Minthogy pedig tizenkettő a hathoz egy oktáv (12:6), ez az egyszerű kísérlet mutatja, htogy a kvart és kvint összerakása valóban egy oktávot ad. Figyelemre méltó az előbb említett mérővessző elnevezése, hiszen a kánon általánosságban kötelező szabályt jelent. Ezt jelentette már az időszámításunk előtti V. században is. Az egyik görög szobrász, éppen a zene példájára, hasonló arányszámokat keresett az emberi test ábrázolására. Elképzelése szerint ugyanúgy, ahogy a zenében szigorú arányosság érvényesül, a szobrászatban az emberi test részeinek aránya is pontosan előre meghatározott. Ha ezeket az arányokat nem tartjuk be, nem lehet szép a szobor. Ezért nevezte ez a szobrász mind elméleti értekezését erről a kérdésről, mind pedig szobrát, amelyen ezt a gondolatot illusztrálta, kánonnak, így hatott a zene, illetőleg a zeneelméleti kutatás már ilyen korán nemcsak a matematikára, hanem a képzőművészet elméletére is. De térjünk vissza a kánonra, mint mérővesszőre. Érdekes, hogy ezen a kánon nevű mérővesszőn a szorzást összeadás, az osztást pedig kivonás formájában hajtják végre. Püthagorasz tanítványainak ez a kánonja a mai logarléc ókori őse. — De mi köze ezekhez az elméleti kutatásokhoz a szférák harmóniájának? — Püthagorasz tanítványait úgy meg bűvölte saját felfedezésük, az arány érvé nyesülése a zenében, hogy ezt a gondolatot rögtön merészen általánosították. Bár egy kissé naívul hangzik, amit ezzel kapcsolatban kijelentettek, de ismerjük el, mély igazság is rejlik mögötte. Tételük az volt, hogy minden a világon szám. Mi ezt napjainkban úgy fejezzük ki, hogy a természet törvényei a matematika nyelvén íródtak. Matematikát kell tudnunk ahhoz, hogy megértsük a bennünket körülvevő valóság legrejtettebb törvényeit. Ezt sejtették meg, nagyon helyesen, Püthagorasz tanítványai. Érdekes azonban az is, hogy amikor ez a helyes felismerés dogmává merevült, hogyan lett akadálya a jobb megismerésnek. A bolygók és az ég csillagai ugyanolyan arányokban kell hogy elhelyezkedjenek a püthagorasz! felismerés szerint, miként a kánonon helyezkednek el a harmónia számai. Minthogy pedig a bolygótávolságok egymástól arányosak, ezek mozgásának kell adnia a világ tökéletes zenéjét, a szférák harmóniáját. A gondolat kissé naív, bár egyszersmind zseniális is. Nem akarok most részletekbe bocsát kozni, csak azt említem meg, hogy Kepler objektív kutatásait sokáig gátolta az, hogy mindenáron a püthagoraszi számokat akarta kimutatni ő is a bolygók mozgásában. A zene és a matematika példája is mutatja: egy lényegében helyes felismerés, ha dogmává merevítjük, súlyos tévedések forrása lehet. Gyüre Lajos: kövecsesen Mint habzó tejet — fényt isznak a fák, a rét, a friss vetés. Szöszmötöl apró nevetés, sürgő hangyák takarítnak. Nyújtóznak kúpos vakond várak, bokrok alatt szundít a csend, ibolya lila illata leng, s mint puha sál — borítja vállad. Mint os garabonciások: indulsz, s hátadon a házad, fölötted zengő madárhad — kísérnek víg muzsikások.
